De Ramberg-Osgood Vergelijking

De Ramberg-Osgood relatie

De wet van Hooke stelt dat onder de vloeispanning de spanning lineair evenredig is met de rek:

$${\sigma = {E} \; {\varepsilon}_{e}}$$

Ramberg en Osgood definieerden een machtswet om de plastische rek te beschrijven:

$${{\varepsilon}_{p} = \left(\frac{\sigma}{K} \right)^n}$$

De materiaalafhankelijke parameters $K$ en $n$ beschrijven het verhardingsgedrag van het materiaal.

De totale rek ${\varepsilon}_{t}$ is de som van de elastische rek ${\varepsilon}_{e}$ en de plastische rek ${\varepsilon}_{p}$, wat resulteert in:

$${{\varepsilon}_{t} = {\varepsilon}_{e} + {\varepsilon}_{p} = \frac{\sigma}{E} + \left(\frac{\sigma}{K} \right)^n}$$

Met:

• ${\varepsilon}$ de rek
• ${\sigma}$ de spanning
• $K$ niet-lineaire materiaalmodulus
• $n$ vervormingsverhardingsexponent van het materiaal

Nauwkeurigheid van de vergelijking

De vergelijking is geen perfecte weergave van het werkelijke spanning-rek gedrag van het materiaal, omdat de Ramberg-Osgood vergelijking impliceert dat plastische rek aanwezig is bij elk spanningsniveau, ook ver onder de vloeispanning. De plastische rekcomponent van de totale rek is echter zeer klein bij lage spanningsniveaus.

Sommige materialen vertonen een abrupte stijfheidsverandering bij het vloeien. In dat geval geeft de Ramberg-Osgood relatie geen goede benadering rond de vloeispanning (zie Figuur 1 hieronder).

Voorbeeld

In Figuur 1 worden de spanning-rek gegevens van een koolstofstaal met een vloeispanning σ_y = 500 MPa en een elasticiteitsmodulus E = 210000 MPa gepresenteerd. De Ramberg-Osgood curve (K = 1480, n = 6,71) is uitgezet tegen de gemeten spanning-rek data. De fout bij spanningen tussen nul en circa 350 MPa is zeer klein, maar neemt toe bij spanningen tussen 400 en 550 MPa.

De Ramberg-Osgood curve levert de materiaalivoer die nodig is voor elastisch-plastische FEA-berekeningen, en is even belangrijk voor vermoeiing en duurzaamheidsanalyse, waarbij de cyclische spanning-rek curve het lokale rekbereik bij kerven en spanningsconcentraties bepaalt.

Hoe past u spanning-rek data aan de Ramberg-Osgood vergelijking aan?

Het fitten van spanning-rek data aan een Ramberg-Osgood curve kan worden gedaan met Excel, maar ook met bijvoorbeeld Python. De Python 3.x code wordt hieronder weergegeven:

     
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt


# MATERIAL DATA
strain = np.array([0, 500/210000, 0.003749347, 0.005234888, 0.007631515, 
                   0.011446096, 0.017384888, 0.026405375, 0.039775799])
stress = np.array([0, 500, 550, 600, 660, 720, 780, 840, 900])
E = stress[1] / strain[1]  # CALCULATE YOUNG'S MODULUS

# FITTING RAMBERG-OSGOOD EQUATION
def test_func(x, K, n):
    return x / E + np.power(x / K, n)

p0 = [500, 5]  # Initial estimate for [K, n]
c, cov = curve_fit(test_func, stress, strain, p0)

# PRINT CURVE FIT PARAMETERS
print()
print('-' * 28)
print(' Ramberg-Osgood parameters')
print('-' * 28)
print(f' K = {c[0]} \n n = {c[1]}')
print('-' * 28)

# CREATE DATA ARRAY FOR THE FITTED CURVE
e = test_func(np.linspace(0, stress[-1]), c[0], c[1])  # STRAIN
s = np.linspace(0, stress[-1])  # STRESS

# PLOT DATA AND FITTED CURVE
plt.figure(1, figsize=(12, 8))
# PLOT FITTED CURVE:
plt.plot(e, s, lw=3, c='C1')
# PLOT MEASURED DATA:
plt.plot(strain, stress, '--o', lw=2.5, ms=9, mew=2, mfc='white', c='C0')
plt.grid()
plt.xlabel(r'Strain $\epsilon$ [mm/mm]')
plt.ylabel(r'Stress $\sigma$ [MPa]')
plt.title(f'Ramberg-Osgood curve fit (K = {np.round(c[0], 2)} '
          f'| n = {np.round(c[1], 3)})\n')
plt.legend(['Ramberg-Osgood fit', 'Stress-Strain measured data'])

plt.show()