Overlevingszekerheid
Vermoeiingslevensduurdata bevatten altijd spreiding. Zelfs zorgvuldig gecontroleerde laboratoriumproefstukken van hetzelfde materiaal, beproefd bij hetzelfde spanningsniveau, falen bij verschillende aantallen belastingcycli. Bij een gegeven spanning wordt aangenomen dat de verdeling van vermoeiingslevensduren een log-normale verdeling volgt — dat wil zeggen een normale (Gaussische) verdeling van log10(N). De standaardfout SE van log10(N) is de statistische parameter die wordt gebruikt om een S‑N curve te verschuiven van het gemiddelde (50 %) overlevingspercentage naar elke andere overlevingskans die voor het ontwerp vereist is.
Waarom overlevingszekerheid belangrijk is
Een gemiddelde S‑N curve vertegenwoordigt de spanning-levensduurrelatie waarbij 50 % van de proefstukken naar verwachting zou overleven. Een component ontwerpen tegen een overlevingskans van 50 % zou betekenen dat men accepteert dat de helft van alle onderdelen in bedrijf zou kunnen falen vóór het bereiken van de voorspelde levensduur — een onaanvaardbaar risico voor vrijwel elke technische toepassing.
In de praktijk worden bij vermoeiingsbeoordelingen ontwerp-S‑N curves gebruikt die naar een hogere overlevingszekerheid zijn verschoven. De meest gangbare keuzes zijn 97,7 % (gemiddelde minus twee standaardafwijkingen, breed toegepast in de algemene werktuigbouwkunde en vastgelegd in richtlijnen zoals de FKM-richtlijn) en 99,9 % of hoger voor veiligheidskritische toepassingen zoals luchtvaart, nucleaire of spoorwegcomponenten. De keuze van de overlevingskans is een ontwerpbeslissing die het aanvaardbare risico afweegt tegen de economische kosten van een conservatiever ontwerp.
De standaardfout en de normale verdeling
Om de S‑N curve naar een specifieke overlevingskans te verschuiven, hebben we een opzoektabel (Tabel 1) nodig die de afwijking van de gemiddelde levensduur uitdrukt in het aantal standaardafwijkingen. De waarden in deze tabel zijn afgeleid van de kansdichtheidsfunctie (PDF) en de cumulatieve verdelingsfunctie (CDF) van de normale verdeling.
De PDF is de bekende klokcurve:
$${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$$
waarin:
- $\mu$ het gemiddelde van de data is
- $\sigma$ de standaardafwijking is
De CDF is de integraal van de PDF:
$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$$
Het percentage overlevingszekerheid is dan 1 − CDF (zie ook Figuur 1).
| Aantal standaard- afwijkingen van het gemiddelde |
% Overlevings- zekerheid |
|---|---|
| −5 | 99,99997 |
| −4 | 99,997 |
| −3 | 99,87 |
| −2 | 97,72 |
| −1 | 84,13 |
| 0 | 50 |
| 1 | 15,87 |
| 2 | 2,28 |
| 3 | 0,13 |
| 4 | 0,003 |
| 5 | 0,00003 |
Rekenvoorbeeld
Stel dat we een component hebben die onderworpen is aan constant-amplitude cyclische spanning tussen ±300 MPa. De S‑N curve-parameters voor dit materiaal bij 50 % overlevingszekerheid zijn:
- spanningsbereik-snijpunt SRI = 1300 MPa
- helling van de curve b1 = −0,0612
- standaardfout SE = 0,12
Deze parameters definiëren de S‑N curve in termen van het spanningsbereik (niet de spanningsamplitude). Het spanningsbereik Sr is een functie van het aantal cycli tot breuk N:
$${\displaystyle S_r = SRI \cdot N^{b_1}}$$
Het spanningsbereik is in dit geval 2 ⋅ 300 MPa = 600 MPa. Het voorspelde aantal cycli tot breuk bij 50 % overleving is daarom:
$${\displaystyle 600 = 1300 \cdot N_{50}^{-0.0612}}$$
wat N50 = 306 760 cycli oplevert.
We willen nu de ontwerp-S‑N curve gebruiken. In de meeste algemene technische toepassingen wordt een overlevingszekerheid van 97,7 % gehanteerd. Uit Tabel 1 lezen we af dat 97,7 % overeenkomt met n = −2 standaardafwijkingen van het gemiddelde.
De S‑N curve wordt aangepast door het aantal cycli te verlagen:
$${\displaystyle \log_{10}(N) = \log_{10}(N_{50}) - n \cdot SE}$$
of equivalent:
$${\displaystyle N = N_{50} \cdot 10^{(-n \; \cdot \; SE)}}$$
$${\displaystyle N_{97.7} = 306\,760 \cdot 10^{(-2 \; \cdot \; 0.12)}}$$
Dit levert N97,7 = 176 522 cycli op — een vermindering van 42 % ten opzichte van de gemiddelde levensduur N50.
Het voorbeeld illustreert een belangrijk punt: spreiding in vermoeiingsdata is geen onbelangrijk statistisch detail. Bij 97,7 % overleving bedraagt de toelaatbare levensduur minder dan 60 % van de gemiddelde levensduur. Wanneer cumulatieve schadebrekeningen worden uitgevoerd bovenop deze verschoven S‑N curve, kan het gecombineerde effect van spreiding en variabele-amplitude belasting de voorspelde veilige bedrijfslevensduur aanzienlijk verkorten. Daarom moet de keuze van de overlevingskans bewust worden gemaakt en duidelijk worden gedocumenteerd in elke vermoeiingsbeoordeling.
Wilt u meer weten over vermoeiingsbeoordeling in de praktijk? Bekijk dan onze opleiding Inleiding tot Vermoeiingsanalyse met FEA, die het gebruik van S‑N curves, overlevingskans, schadecumulatie en de wisselwerking tussen FEA-resultaten en voorspelling van de vermoeiingslevensduur behandelt.
Veelgestelde vragen
Veelgestelde vragen over overlevingszekerheid en spreiding in vermoeiingsdata.