Certitude de survie
Les données de durée de vie en fatigue contiennent toujours de la dispersion. Même des éprouvettes de laboratoire soigneusement contrôlées, du même matériau et testées au même niveau de contrainte, rompront à des nombres de cycles différents. À un niveau de contrainte donné, la distribution des durées de vie en fatigue est supposée suivre une loi log-normale — c'est-à-dire une distribution normale (gaussienne) de log10(N). L'erreur standard SE de log10(N) est le paramètre statistique utilisé pour décaler une courbe S‑N de sa probabilité de survie moyenne (50 %) vers toute autre probabilité de survie requise pour la conception.
Pourquoi la certitude de survie est importante
Une courbe S‑N moyenne représente la relation contrainte-durée de vie à laquelle 50 % des éprouvettes seraient censées survivre. Concevoir un composant sur la base d'une probabilité de survie de 50 % signifierait accepter que la moitié de toutes les pièces en service pourraient rompre avant d'atteindre la durée de vie prédite — un risque inacceptable pour pratiquement toute application d'ingénierie.
En pratique, les évaluations de fatigue utilisent des courbes S‑N de conception qui sont décalées vers une certitude de survie plus élevée. Les choix les plus courants sont 97,7 % (moyenne moins deux écarts-types, largement utilisé en construction mécanique générale et codifié dans des directives telles que la directive FKM) et 99,9 % ou plus pour les applications critiques pour la sécurité telles que l'aéronautique, le nucléaire ou les composants ferroviaires. Le choix de la probabilité de survie est une décision de conception qui équilibre le risque acceptable par rapport au coût économique d'une conception plus conservatrice.
L'erreur standard et la loi normale
Pour décaler la courbe S‑N vers une probabilité de survie spécifique, nous avons besoin d'une table de correspondance (Tableau 1) qui donne l'écart par rapport à la durée de vie moyenne en termes de nombre d'écarts-types. Les valeurs de ce tableau sont dérivées de la fonction de densité de probabilité (PDF) et de la fonction de répartition (CDF) de la loi normale.
La PDF est la courbe en cloche bien connue :
$${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$$
où :
- $\mu$ est la moyenne des données
- $\sigma$ est l'écart-type
La CDF est l'intégrale de la PDF :
$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$$
Le pourcentage de certitude de survie est alors 1 − CDF (voir également Figure 1).
| Nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne |
% Certitude de survie |
|---|---|
| −5 | 99.99997 |
| −4 | 99.997 |
| −3 | 99.87 |
| −2 | 97.72 |
| −1 | 84.13 |
| 0 | 50 |
| 1 | 15.87 |
| 2 | 2.28 |
| 3 | 0.13 |
| 4 | 0.003 |
| 5 | 0.00003 |
Exemple de calcul
Supposons un composant soumis à une contrainte cyclique d'amplitude constante entre ±300 MPa. Les paramètres de la courbe S‑N pour ce matériau à 50 % de certitude de survie sont :
- ordonnée à l'origine de l'étendue de contrainte SRI = 1300 MPa
- pente de la courbe b1 = −0,0612
- erreur standard SE = 0,12
Ces paramètres définissent la courbe S‑N en termes d'étendue de contrainte (et non d'amplitude de contrainte). L'étendue de contrainte Sr est une fonction du nombre de cycles à rupture N :
$${\displaystyle S_r = SRI \cdot N^{b_1}}$$
L'étendue de contrainte dans ce cas est 2 ⋅ 300 MPa = 600 MPa. Le nombre de cycles à rupture prédit à 50 % de survie est donc :
$${\displaystyle 600 = 1300 \cdot N_{50}^{-0.0612}}$$
ce qui donne N50 = 306 760 cycles.
Nous voulons maintenant utiliser la courbe S‑N de conception. Dans la plupart des applications de construction mécanique générale, une certitude de survie de 97,7 % est utilisée. D'après le Tableau 1, nous trouvons que 97,7 % correspond à n = −2 écarts-types par rapport à la moyenne.
La courbe S‑N est ajustée en réduisant le nombre de cycles :
$${\displaystyle \log_{10}(N) = \log_{10}(N_{50}) - n \cdot SE}$$
ou de manière équivalente :
$${\displaystyle N = N_{50} \cdot 10^{(-n \; \cdot \; SE)}}$$
$${\displaystyle N_{97.7} = 306\,760 \cdot 10^{(-2 \; \cdot \; 0.12)}}$$
Ce qui donne N97,7 = 176 522 cycles — une réduction de 42 % par rapport à la durée de vie moyenne N50.
Cet exemple illustre un point important : la dispersion en fatigue n'est pas un détail statistique mineur. À 97,7 % de survie, la durée de vie admissible est inférieure à 60 % de la durée de vie moyenne. Lorsque des calculs d'accumulation de dommage sont effectués sur cette courbe S‑N décalée, l'effet combiné de la dispersion et du chargement à amplitude variable peut réduire considérablement la durée de vie d'exploitation sûre prédite. C'est pourquoi le choix de la probabilité de survie doit être fait consciemment et documenté clairement dans chaque évaluation de fatigue.
Si vous souhaitez en savoir plus sur l'évaluation de la fatigue en pratique, consultez notre cours Introduction aux calculs de fatigue avec FEA, qui couvre l'utilisation des courbes S‑N, la probabilité de survie, l'accumulation de dommage et l'interaction entre les résultats FEA et la prédiction de la durée de vie en fatigue.
Questions fréquentes
Questions courantes sur la certitude de survie et la dispersion en fatigue.