Palmgren-Miner-regel: een overzicht

De Palmgren-Miner-regel, ook wel bekend als de Miner-regel, de Lineaire Schade Regel (LDR) of de Cumulatieve Schade Hypothese (CDH), is een van de meest gebruikte methoden voor de voorspelling van vermoeiingslevensduur onder variabele amplitude (VA) belasting. De regel werd voorgesteld door M.A. Miner in 1945 en biedt een eenvoudige benadering om cumulatieve vermoeidheidsschade te beoordelen over meerdere belastingscycli met verschillende spanningsamplitudes. Het is gebaseerd op de veronderstelling dat vermoeidheidsschade zich op een lineaire manier ophoopt tot het falen optreedt.

Hoe de Miner-regel werkt

De Miner-regel berekent vermoeidheidsschade op basis van het aantal cycli bij elk spanningsniveau. Voor een bepaald spanningsniveau kan de schadefractie worden berekend als de verhouding van het aantal cycli bij dat spanningsniveau tot het totale aantal cycli tot falen bij hetzelfde spanningsniveau (afgeleid van S-N-curves).

De basisvorm van de Miner-regel wordt uitgedrukt als:

$${D = \sum_{i=1}^{n} \frac{n_i}{N_i}}$$

Waarbij:

${n_i}$ = aantal ervaren cycli bij spanningsniveau ${S_i}$
${N_i}$ = aantal cycli tot falen bij spanningsniveau ${S_i}$ (afgeleid van de S-N-curve)
${D}$ = totale opgehoopte schade

Volgens de Miner-regel treedt falen op wanneer de totale opgehoopte schade ${D}$ gelijk is aan of groter is dan 1:

$${D \geq 1 \quad \text{(Vermoeiingsfalen)}}$$

Belangrijke veronderstellingen van de Miner-regel

De Miner-regel is gebaseerd op de volgende veronderstellingen:

1. Lineaire accumulatie van schade: De regel gaat ervan uit dat schade zich lineair ophoopt, dat wil zeggen, elke belastingscyclus draagt onafhankelijk van andere cycli bij aan de schade, en er is geen interactie tussen cycli met verschillende spanningsamplitudes.
2. Geen effecten van belastingsvolgorde: De Miner-regel gaat ervan uit dat de volgorde van de toegepaste belastingen geen invloed heeft op de vermoeiingslevensduur. Bijvoorbeeld, het toepassen van een hoogspanningscyclus vóór een laagspanningscyclus wordt verondersteld dezelfde schade te veroorzaken als het eerst toepassen van de laagspanningscyclus.
3. Geen geheugen van voorgaande belastingsgeschiedenis: De regel suggereert dat zodra een belastingscyclus is voltooid, het materiaal de eerdere geschiedenis "vergeet", wat betekent dat de schade van een bepaalde belastingscyclus onafhankelijk is van eerdere cycli.

Voordelen van de Miner-regel

1. Eenvoud en gebruiksgemak

De Miner-regel is eenvoudig toe te passen en te begrijpen. Het vereist alleen basisinvoer zoals het aantal cycli bij verschillende spanningsniveaus en de S-N-curve voor het materiaal.
Het biedt een eenvoudige manier om vermoeidheidsschade in structuren en componenten te beoordelen die worden blootgesteld aan VA-belasting zonder complexe rekenhulpmiddelen.

2. Wijdverspreid gebruik

Vanwege de eenvoud wordt de Miner-regel veel gebruikt in industrieën zoals de lucht- en ruimtevaart, de auto-industrie en de civiele techniek. Het wordt vaak geïmplementeerd in vermoeiingsanalyse-software en ontwerpnormen.

3. Eerste benadering

De regel dient als een nuttige eerste benadering voor de vermoeiingslevensduur onder variabele belastingomstandigheden, en biedt een basisrichtlijn voor ingenieurs bij het evalueren van het risico op vermoeiingsfalen in structuren.

4. Toepasbaar op verschillende materialen

De Miner-regel kan worden gebruikt voor verschillende materialen, zolang de S-N-curves beschikbaar zijn. Deze curves, die de relatie tussen spanning en vermoeiingslevensduur beschrijven, worden doorgaans gegenereerd door gestandaardiseerde vermoeidheidstests.

Nadelen en beperkingen van de Miner-regel

1. Negeert effecten van belastingsvolgorde

Een van de belangrijkste beperkingen van de Miner-regel is dat het effecten van belastingsvolgorde negeert. In werkelijkheid kan de volgorde waarin verschillende spanningsniveaus worden toegepast een aanzienlijke invloed hebben op de vermoeiingslevensduur. Bijvoorbeeld, hoogspanningscycli gevolgd door laagspanningscycli veroorzaken vaak meer schade dan de omgekeerde volgorde vanwege plasticiteit-geïnduceerde scheursluiting en andere microstructurele effecten.

2. Niet-lineariteit van vermoeidheidsschade

Vermoeidheidsschade is niet altijd lineair. Voor bepaalde materialen en belastingomstandigheden heeft schade de neiging sneller of langzamer op te hopen dan door de Miner-regel wordt voorspeld. Als gevolg hiervan kan de Miner-regel schade overschatten of onderschatten, afhankelijk van het materiaal en de belastingsgeschiedenis.
Hoog-cyclische vermoeidheid wordt beter gemodelleerd door de Miner-regel, terwijl laag-cyclische vermoeidheid vaak aanzienlijke plastische vervorming met zich meebrengt, die de regel niet in aanmerking neemt.

3. Oververeenvoudiging van complexe belasting

De Miner-regel is beperkt in zijn vermogen om complexe belastingen te modelleren. Reële belastingen zijn vaak onregelmatig en multi-axiaal, waarbij combinaties van torsie, trek en buiging betrokken zijn, die de Miner-regel niet adequaat kan weergeven.

4. Negeert de vermoeidheidslimiet

De Miner-regel gaat ervan uit dat alle spanningscycli bijdragen aan vermoeidheidsschade, maar dit is niet altijd waar. Sommige materialen vertonen een vermoeidheidslimiet, wat betekent dat spanningscycli onder een bepaalde drempel geen vermoeidheidsschade veroorzaken. De regel houdt hier geen rekening mee, wat leidt tot te conservatieve schattingen van schade wanneer lage spanningscycli aanwezig zijn.

5. Kruip- en corrosievermoeidheid

De Miner-regel is niet geschikt voor omgevingen waar kruip of corrosie een rol speelt bij vermoeidheid, aangezien deze factoren scheurinitiatie en -groei versnellen, waarbij ze op complexe manieren met de cyclische belasting interageren die de lineaire schadeaccumulatie van Miner niet kan vastleggen.

Alternatieven en aanpassingen aan de Miner-regel

Vanwege zijn beperkingen zijn verschillende aanpassingen en alternatieven voor de Miner-regel voorgesteld om de nauwkeurigheid van de beoordeling van vermoeidheidsschade onder variabele belasting te verbeteren:

1. Niet-lineaire schadeaccumulatiemodellen

Om rekening te houden met de niet-lineaire aard van vermoeidheidsschade, introduceren sommige modellen een niet-lineaire schadeaccumulatie, waarbij de schadegraad toeneemt of afneemt, afhankelijk van de spanningsamplitude of belastingsgeschiedenis. Deze modellen zijn complexer, maar over het algemeen nauwkeuriger voor materialen die niet volgens een lineaire schaderegel werken.

2. Modellen afhankelijk van belastingsvolgorde

Sommige benaderingen houden rekening met effecten van belastingsvolgorde, die de schade veroorzaakt door daaropvolgende belastingscycli kunnen aanpassen op basis van de voorgaande belastingsgeschiedenis. Deze modellen introduceren vaak correctiefactoren die rekening houden met het feit of hoge belastingen voor of na lage belastingen optreden.

3. Schade-interactiemodellen

In multi-axiale belasting omstandigheden wordt de Miner-regel uitgebreid of vervangen door modellen die de interactie tussen verschillende soorten belastingen (bijvoorbeeld torsie gecombineerd met trek) in aanmerking nemen. Deze modellen zijn beter geschikt om complexe belastingpatronen in de echte wereld aan te pakken.

4. Twee-fasen modellen (scheurinitiatie + scheurgroei)

Een nauwkeuriger alternatief voor de Miner-regel is om vermoeidheid in twee fasen te verdelen: scheurinitiatie en scheurgroei. Deze benadering modelleert scheurinitiatie met behulp van S-N-curves en voorspelt vervolgens scheurgroei met behulp van breukmechanica, waarbij rekening wordt gehouden met spanningsintensiteitsfactoren en scheurvoortplantingswetten zoals de Wet van Paris.

Praktische toepassing van de Miner-regel

Ondanks zijn beperkingen wordt de Miner-regel nog steeds veel gebruikt als een praktisch hulpmiddel in veel technische disciplines, vooral wanneer een benadering van de vermoeidingslevensduur voldoende is en de belastingomstandigheden niet te complex zijn. Voor veiligheidskritische toepassingen waar meer precisie vereist is, kan de regel worden aangevuld met geavanceerdere methoden of laboratoriumtests.

Conclusie

De Miner-regel biedt een eenvoudige en praktische methode om vermoeidheidsschade te schatten onder variabele amplitude belasting, waardoor het waardevol is in veel technische toepassingen. Het heeft echter aanzienlijke beperkingen, met name in zijn onvermogen om rekening te houden met belastingsvolgorde-effecten en niet-lineaire schadeaccumulatie. In gevallen waarin een nauwkeurigere voorspelling van de vermoeidingslevensduur vereist is, zijn niet-lineaire modellen en methoden afhankelijk van belastingsvolgorde vaak meer geschikte alternatieven.

De Miner-Palmgren-regel: Een overzicht