Die Miner-Palmgren-Regel: Ein Überblick

Die Palmgren-Miner-Regel, auch bekannt als Miner's Regel, die Lineare Schadensregel (LDR) oder die Kumulative Schadenshypothese (CDH), ist eine der am häufigsten verwendeten Methoden zur Vorhersage der Ermüdungslebensdauer bei variabler Amplitudenbelastung (VA). Die Regel wurde 1945 von M.A. Miner vorgeschlagen und bietet einen einfachen Ansatz zur Bewertung der kumulierten Ermüdungsschäden über mehrere Lastzyklen mit unterschiedlichen Spannungsamplituden. Sie basiert auf der Annahme, dass sich Ermüdungsschäden linear bis zum Versagen ansammeln.

Wie die Miner-Regel funktioniert

Die Miner-Regel berechnet Ermüdungsschäden basierend auf der Anzahl der Zyklen bei jedem Spannungsniveau. Für ein gegebenes Spannungsniveau kann der Schadensanteil als Verhältnis der Anzahl der Zyklen bei diesem Spannungsniveau zur Gesamtzahl der Zyklen bis zum Versagen bei demselben Spannungsniveau (abgeleitet aus S-N-Kurven) berechnet werden.

Die Grundform der Miner-Regel wird ausgedrückt als:

\[D = \sum_{i=1}^{n} \frac{n_i}{N_i}\]

Wobei:

  • \(n_i\) = Anzahl der Zyklen bei Spannungsniveau \(S_i\)
  • \(N_i\) = Anzahl der Zyklen bis zum Versagen bei Spannungsniveau \(S_i\) (aus der S-N-Kurve)
  • \(D\) = Gesamtansammlung von Schäden

Nach der Miner-Regel tritt ein Versagen auf, wenn die Gesamtansammlung von Schäden \(D\) gleich oder größer als 1 ist:

\[D \geq 1 \quad \text{(Ermüdungsversagen)}\]

Wichtige Annahmen der Miner-Regel

Die Miner-Regel basiert auf den folgenden Annahmen:

1. Lineare Schadensakkumulation
Die Regel nimmt an, dass sich Schäden linear anhäufen, d. h. jeder Lastzyklus trägt unabhängig von anderen Zyklen zur Schädigung bei, und es gibt keine Interaktion zwischen Zyklen mit unterschiedlichen Spannungsamplituden.
2. Keine Lastfolgen-Effekte
Die Miner-Regel nimmt an, dass die Reihenfolge der aufgebrachten Lasten keinen Einfluss auf die Ermüdungslebensdauer hat. Beispielsweise wird angenommen, dass das Aufbringen eines Hochlastzyklus vor einem Niedriglastzyklus denselben Schaden verursacht wie das Aufbringen des Niedriglastzyklus zuerst.
3. Kein Gedächtnis an frühere Belastungsgeschichten
Die Regel legt nahe, dass das Material, sobald ein Lastzyklus abgeschlossen ist, die vorherige Belastungsgeschichte "vergisst", was bedeutet, dass der Schaden durch einen bestimmten Lastzyklus unabhängig von früheren Zyklen ist.

Vorteile der Miner-Regel

1. Einfachheit und Benutzerfreundlichkeit
  • Die Miner-Regel ist einfach anzuwenden und zu verstehen. Sie erfordert nur grundlegende Eingaben wie die Anzahl der Zyklen bei verschiedenen Spannungsniveaus und die S-N-Kurve für das Material.
  • Sie bietet eine unkomplizierte Möglichkeit, Ermüdungsschäden in Strukturen und Bauteilen, die einer variablen Amplitudenbelastung ausgesetzt sind, ohne komplexe Rechenwerkzeuge zu bewerten.
2. Weit verbreitete Anwendung
Aufgrund ihrer Einfachheit wird die Miner-Regel in Branchen wie Luft- und Raumfahrt, Automobil- und Bauingenieurwesen weit verbreitet eingesetzt. Sie wird oft in Ermüdungsanalyse-Software und Designstandards implementiert.
3. Erste Näherung
Die Regel dient als nützliche erste Näherung für die Ermüdungslebensdauer unter variablen Lastbedingungen und bietet Ingenieuren eine grundlegende Richtlinie bei der Bewertung des Ermüdungsversagensrisikos in Strukturen.
4. Anwendbar auf verschiedene Materialien
Die Miner-Regel kann für eine Vielzahl von Materialien verwendet werden, solange die S-N-Kurven verfügbar sind. Diese Kurven, die die Beziehung zwischen Spannung und Ermüdungslebensdauer beschreiben, werden typischerweise durch standardisierte Ermüdungstests erstellt.

Nachteile und Einschränkungen der Miner-Regel

1. Ignoriert Lastfolgen-Effekte
Einer der größten Nachteile der Miner-Regel ist, dass sie Lastfolgen-Effekte vernachlässigt. In Wirklichkeit kann die Reihenfolge, in der verschiedene Spannungsniveaus angewendet werden, einen erheblichen Einfluss auf die Ermüdungslebensdauer haben. Beispielsweise verursachen Hochamplitudenlastzyklen, die auf Niedrigamplitudenzyklen folgen, häufig mehr Schäden als die umgekehrte Reihenfolge aufgrund von plastizitätsbedingtem Rissverschluss und anderen mikrostrukturellen Effekten.
2. Nichtlinearität der Ermüdungsschäden
  • Ermüdungsschäden sind nicht immer linear. Für bestimmte Materialien und Belastungsbedingungen neigen Schäden dazu, sich schneller oder langsamer anzusammeln als von der Miner-Regel vorhergesagt. Daher kann die Miner-Regel Schäden über- oder unterschätzen, je nach Material und Belastungsgeschichte.
  • Hochzyklische Ermüdung wird tendenziell besser durch die Miner-Regel modelliert, während Niedrigzyklische Ermüdung oft signifikante plastische Verformungen beinhaltet, die die Regel nicht berücksichtigt.
3. Übervereinfachung komplexer Belastungen
Die Miner-Regel ist in ihrer Fähigkeit zur Modellierung komplexer Belastungen begrenzt. Reale Lasten sind oft unregelmäßig und mehrachsig und beinhalten Kombinationen aus Torsion, Zug und Biegung, die die Miner-Regel nicht angemessen berücksichtigen kann.
4. Ignoriert die Ermüdungsgrenze
Die Miner-Regel geht davon aus, dass alle Lastzyklen zu Ermüdungsschäden führen, was jedoch nicht immer der Fall ist. Einige Materialien zeigen eine Ermüdungsgrenze, was bedeutet, dass Lastzyklen unterhalb einer bestimmten Schwelle keine Ermüdungsschäden verursachen. Die Regel berücksichtigt dies nicht, was zu übermäßig konservativen Schadensschätzungen führt, wenn Niedriglastzyklen vorhanden sind.
5. Kriech- und Korrosionsermüdung
Die Miner-Regel ist nicht geeignet für Umgebungen, in denen Kriechen oder Korrosion eine Rolle bei der Ermüdung spielen, da diese Faktoren die Rissbildung und das Risswachstum beschleunigen und in komplexer Weise mit der zyklischen Belastung interagieren, die Miners lineare Schadensakkumulation nicht erfassen kann.

Alternativen und Modifikationen der Miner-Regel

Aufgrund ihrer Einschränkungen wurden mehrere Modifikationen und Alternativen zur Miner-Regel vorgeschlagen, um die Genauigkeit bei der Bewertung von Ermüdungsschäden unter variablen Belastungen zu verbessern:

1. Nichtlineare Schadensakkumulationsmodelle
Um die nichtlineare Natur von Ermüdungsschäden zu berücksichtigen, führen einige Modelle eine nichtlineare Schadensakkumulation ein, bei der sich die Schadensrate je nach Spannungsamplitude oder Belastungsgeschichte erhöht oder verringert. Diese Modelle sind komplexer, aber in der Regel genauer für Materialien, die nicht einer linearen Schadensregel folgen.
2. Lastfolgenabhängige Modelle
Einige Ansätze berücksichtigen Lastfolgen-Effekte, die den durch nachfolgende Lastzyklen verursachten Schaden basierend auf der vorhergehenden Lastgeschichte modifizieren können. Diese Modelle führen oft Korrekturfaktoren ein, die berücksichtigen, ob hohe Lasten vor oder nach niedrigen Lasten auftreten.
3. Schadensinteraktionsmodelle
Unter mehrachsigen Belastungsbedingungen wird die Miner-Regel erweitert oder durch Modelle ersetzt, die die Interaktion zwischen verschiedenen Belastungsarten (z. B. Torsion in Kombination mit Zug) berücksichtigen. Diese Modelle sind besser geeignet, um reale, komplexe Belastungsmuster zu behandeln.
4. Zweistufenmodelle (Rissinitiierung + Risswachstum)
Eine genauere Alternative zur Miner-Regel besteht darin, die Ermüdung in zwei Stufen zu unterteilen: Rissinitiierung und Risswachstum. Dieser Ansatz modelliert die Rissinitiierung mithilfe von S-N-Kurven und sagt dann das Risswachstum unter Verwendung der Bruchmechanik voraus, die Spannungsintensitätsfaktoren und Rissausbreitungsgesetze wie das Pariser Gesetz berücksichtigt.

Praktische Anwendung der Miner-Regel

Trotz ihrer Einschränkungen wird die Miner-Regel immer noch als praktisches Werkzeug in vielen Ingenieursdisziplinen eingesetzt, insbesondere wenn eine Näherung der Ermüdungslebensdauer ausreicht und die Belastungsbedingungen nicht allzu komplex sind. Für sicherheitskritische Anwendungen, bei denen mehr Präzision erforderlich ist, kann die Regel durch fortschrittlichere Methoden oder Labortests ergänzt werden.

Fazit

Die Miner-Regel bietet eine einfache und praktische Methode zur Schätzung von Ermüdungsschäden bei variabler Amplitudenbelastung und ist daher in vielen technischen Anwendungen von Wert. Allerdings weist sie erhebliche Einschränkungen auf, insbesondere in ihrer Unfähigkeit, Lastfolgen-Effekte und nichtlineare Schadensakkumulation zu berücksichtigen. In Fällen, in denen eine genauere Vorhersage der Ermüdungslebensdauer erforderlich ist, sind nichtlineare Modelle und lastfolgenabhängige Methoden oft geeignetere Alternativen.

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